Zenész családban született Vácon: apja, Bogányi Tibor a váci Harmónia Kórus alapítója és vezetője, feleségével együtt zenetanár volt. Testvérei szintén nemzetközi hírű muzsikusok: Bernadett fuvolaművész, Tibor karmester és csellóművész, Bence fagottművész. A család évekig élt Finnországban, amelyet a testvérek második otthonuknak tekintenek.
Bogányi Gergely négyéves korában kezdett zongorázni a váci zeneiskolában, hatévesen különdíjasa volt a nyíregyházi Országos Zongoraversenynek, amelyet három évvel később meg is nyert. Tízéves korától a Zeneakadémia különleges tehetségeknek fenntartott osztályában tanulhatott. Az itt folytatott tanulmányai mellett a helsinki Sibelius Akadémián Matti Raekallioo, az itt kapott ösztöndíjjal az amerikai Indiana Egyetemen Sebők György növendéke is volt, mesterkurzusokon vett részt többek között Rados Ferenc, Murray Perahia és Schiff András vezetésével. A pianisták közül elsősorban a francia Alfred Cortot, az orosz Szergej Rahmanyinov és Bartók Béla felvételei gyakoroltak rá nagy hatást.
A zenei közéletbe 1996-ban robbant be, amikor megnyerte a budapesti Liszt Ferenc Nemzetközi Zongoraversenyt. Három évvel később különleges vállalkozással hívta fel magára a figyelmet: nem mindennapi technikai tudásról és állóképességről tanúságot téve szünet nélkül játszotta el Liszt Ferenc rendkívül nehéz Transzcendens etűdjeit. Tíz évvel később a Müpa hangversenytermében előadásában ismét egy este alatt hangzottak el Liszt Transzcendens etűdjei, a kritika szerint ekkorra az ifjonti erőpróba túlzásait a művészi érettség váltotta fel. 2001-ben egyéves koncertturné keretében játszotta el Chopin összes zongoraművét, majd erre vállalkozott Mexikóban és az Egyesült Államokban is, a 2010-es nemzetközi Chopin-évben pedig két nap alatt tíz koncerten a lengyel zeneszerző összes szólózongorára írt művét megszólaltatta.