Szegény örmény családban, egy könyvkötő fiaként jött a világra Tiflisz (ma: Tbiliszi) közelében. Már kisgyermekként lenyűgözték az örmény, grúz és azeri népdalok, de 19 éves koráig kottát olvasni sem tudott, az iskolai zenekarban tubán játszott és autodidaktaként tanult zongorázni. Formális zenei képzése csak 19 éves korában kezdődött a moszkvai konzervatórium cselló szakán, miközben biológiai, matematikai és fizikai tanulmányokat is folytatott, és ekkoriban még törte az orosz nyelvet. A Beethoven és Rachmaninov zenéje iránt lelkesedő fiatalember 1929-ben zeneszerző szakra iratkozott át, első komolyabb kompozíciója hegedűre és zongorára írt tánca volt.
A harmincévesen, Csajkovszkij, Rachmaninov és Szkrjabin nyomdokában aranyéremmel diplomázó Hacsaturján nevét Első szimfóniája tette ismertté, amelyet 1934-ben az örmény szovjetköztársaság megalakulásának tizedik évfordulójára komponált. Ekkor már barátjának tudhatta Gorkijt is.
Nemzetközi hírnevet zongoraversenyével ért el 1937-ben, ezt három évvel később David Ojsztrah számára írott Hegedűversenye követte, a zenemű ezután szinte soha nem hiányzott a neves művész repertoárjáról.